Contoh soal matematika uas kelas 10 smk semester 2

Mempersiapkan Diri Menghadapi Ujian Akhir Semester 2 Matematika Kelas 10 SMK: Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Ujian Akhir Semester (UAS) merupakan salah satu tolok ukur penting dalam mengevaluasi pemahaman siswa terhadap materi yang telah diajarkan selama satu semester. Bagi siswa Kelas 10 SMK, mata pelajaran Matematika seringkali menjadi tantangan tersendiri. Pemahaman konsep yang kuat dan kemampuan memecahkan masalah secara sistematis adalah kunci keberhasilan.

Artikel ini hadir untuk membantu Anda mempersiapkan diri menghadapi UAS Matematika Kelas 10 SMK semester 2. Kami akan menyajikan berbagai contoh soal yang mencakup topik-topik penting yang umumnya diujikan, lengkap dengan pembahasan langkah demi langkah yang mudah dipahami. Dengan mempelajari dan mempraktikkan soal-soal ini, diharapkan Anda dapat meningkatkan kepercayaan diri dan meraih hasil yang optimal.

Topik-Topik Penting yang Sering Diujikan dalam UAS Matematika Kelas 10 SMK Semester 2

Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita tinjau kembali topik-topik utama yang seringkali menjadi fokus dalam UAS Matematika Kelas 10 SMK semester 2. Topik-topik ini dapat bervariasi sedikit antar sekolah, namun umumnya meliputi:

1. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel: Meliputi penyelesaian sistem persamaan linear, pertidaksamaan, dan aplikasinya dalam model matematika.
2. Fungsi Kuadratik: Mencakup karakteristik grafik fungsi kuadrat (parabola), menentukan akar-akar persamaan kuadrat, nilai optimum, dan aplikasi dalam masalah sehari-hari.
3. Trigonometri: Meliputi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, identitas trigonometri dasar, sudut-sudut istimewa, dan aplikasi dalam pengukuran.
4. Geometri Dimensi Dua (Lingkaran): Mencakup persamaan lingkaran, kedudukan titik terhadap lingkaran, kedudukan garis terhadap lingkaran, dan garis singgung lingkaran.
5. Program Linear: Meliputi pembuatan model matematika dari permasalahan cerita, menentukan daerah penyelesaian, dan mencari nilai optimum (nilai maksimum atau minimum) menggunakan metode grafik atau eliminasi/substitusi.

Mari kita mulai dengan contoh soal dan pembahasannya untuk setiap topik.

>

Contoh Soal 1: Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Soal:

Diketahui sistem persamaan linear dua variabel berikut:

1) $2x + 3y = 17$
2) $x – y = 1$

Tentukan nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi sistem persamaan tersebut!

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini, kita dapat menggunakan beberapa metode, seperti metode substitusi, eliminasi, atau grafik. Kali ini, kita akan menggunakan metode eliminasi dan substitusi.

Metode Eliminasi:

Tujuan metode eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel (x atau y) dengan menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan.

Dari persamaan (2), kita bisa mengalikan seluruh persamaan dengan 3 agar koefisien $y$ sama dengan persamaan (1):

$3 times (x – y = 1) implies 3x – 3y = 3$

Sekarang kita memiliki sistem persamaan baru:

1) $2x + 3y = 17$
3) $3x – 3y = 3$

Jumlahkan persamaan (1) dan (3) untuk mengeliminasi variabel $y$:

$(2x + 3y) + (3x – 3y) = 17 + 3$
$2x + 3x + 3y – 3y = 20$
$5x = 20$
$x = frac205$
$x = 4$

Metode Substitusi:

Setelah mendapatkan nilai $x$, substitusikan nilai $x = 4$ ke salah satu persamaan awal, misalnya persamaan (2):

$x – y = 1$
$4 – y = 1$
$-y = 1 – 4$
$-y = -3$
$y = 3$

Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tersebut adalah $x = 4$ dan $y = 3$.

Verifikasi:
Kita bisa memeriksa jawaban dengan mensubstitusikan nilai $x=4$ dan $y=3$ ke kedua persamaan awal:
Persamaan (1): $2(4) + 3(3) = 8 + 9 = 17$ (Benar)
Persamaan (2): $4 – 3 = 1$ (Benar)

>

Contoh Soal 2: Fungsi Kuadratik

Soal:

Sebuah fungsi kuadratik dinyatakan dengan $f(x) = x^2 – 6x + 5$.
a) Tentukan sumbu simetri dan koordinat titik puncak parabola tersebut.
b) Tentukan titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y.
c) Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadratik tersebut.

Pembahasan:

Bentuk umum fungsi kuadratik adalah $f(x) = ax^2 + bx + c$. Dalam soal ini, $a=1$, $b=-6$, dan $c=5$.

a) Sumbu Simetri dan Titik Puncak:

• Sumbu Simetri: Rumus sumbu simetri adalah $x = -fracb2a$.
  $x = -frac-62(1) = frac62 = 3$.
  Jadi, sumbu simetri parabola adalah $x=3$.

• Titik Puncak: Koordinat titik puncak $(x_p, y_p)$ dapat ditemukan dengan mensubstitusikan nilai sumbu simetri ke dalam fungsi.
  $x_p = 3$.
  $y_p = f(3) = (3)^2 – 6(3) + 5 = 9 – 18 + 5 = -4$.
  Jadi, koordinat titik puncak adalah $(3, -4)$.

b) Titik Potong:

• Titik Potong dengan Sumbu-x: Terjadi ketika $f(x) = 0$. Kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat $x^2 – 6x + 5 = 0$.
  Kita bisa memfaktorkan persamaan ini:
  $(x – 1)(x – 5) = 0$
  Maka, $x – 1 = 0$ atau $x – 5 = 0$.
  $x = 1$ atau $x = 5$.
  Jadi, titik potong dengan sumbu-x adalah $(1, 0)$ dan $(5, 0)$.

• Titik Potong dengan Sumbu-y: Terjadi ketika $x = 0$.
  $f(0) = (0)^2 – 6(0) + 5 = 0 – 0 + 5 = 5$.
  Jadi, titik potong dengan sumbu-y adalah $(0, 5)$.

c) Sketsa Grafik:

Untuk menggambar sketsa grafik, kita gunakan informasi yang telah kita peroleh:

• Titik puncak: $(3, -4)$
• Titik potong sumbu-x: $(1, 0)$ dan $(5, 0)$
• Titik potong sumbu-y: $(0, 5)$
• Karena $a=1$ (positif), parabola terbuka ke atas.
• Sumbu simetri: $x=3$.

Kita plot titik-titik ini pada bidang koordinat dan hubungkan dengan kurva mulus yang membentuk parabola terbuka ke atas, simetris terhadap garis $x=3$.

(Karena keterbatasan format teks, sketsa grafik tidak dapat ditampilkan di sini. Namun, siswa diharapkan dapat menggambarkannya berdasarkan titik-titik dan sifat parabola yang diperoleh.)

>

Contoh Soal 3: Trigonometri

Soal:

Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B, diketahui panjang sisi AB = 8 cm dan panjang sisi BC = 15 cm.
a) Tentukan panjang sisi AC.
b) Tentukan nilai $sin A$, $cos A$, dan $tan A$.

Pembahasan:

a) Menentukan Panjang Sisi AC (Hipotenusa):

Kita dapat menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ABC:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 8^2 + 15^2$
$AC^2 = 64 + 225$
$AC^2 = 289$
$AC = sqrt289$
$AC = 17$ cm.

Jadi, panjang sisi AC adalah 17 cm.

b) Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri:

Sudut A adalah sudut yang berhadapan dengan sisi BC (sisi depan) dan bersebelahan dengan sisi AB (sisi samping). Sisi AC adalah sisi miring (hipotenusa).

• Sinus A ($sin A$): Perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi miring.
  $sin A = fractextsisi depantextsisi miring = fracBCAC = frac1517$.

• Kosinus A ($cos A$): Perbandingan antara sisi samping sudut dengan sisi miring.
  $cos A = fractextsisi sampingtextsisi miring = fracABAC = frac817$.

• Tangen A ($tan A$): Perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi samping sudut.
  $tan A = fractextsisi depantextsisi samping = fracBCAB = frac158$.

>

Contoh Soal 4: Geometri Dimensi Dua (Lingkaran)

Soal:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(2, -3)$ dan berjari-jari 5.

Pembahasan:

Persamaan umum lingkaran dengan pusat $(h, k)$ dan jari-jari $r$ adalah:
$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$

Dalam soal ini, pusat lingkaran $(h, k) = (2, -3)$ dan jari-jari $r = 5$.

Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus persamaan lingkaran:
$(x – 2)^2 + (y – (-3))^2 = 5^2$
$(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Untuk menyajikan dalam bentuk umum $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$, kita bisa menjabarkan persamaan tersebut:
$(x^2 – 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 25$
$x^2 – 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 25$
$x^2 + y^2 – 4x + 6y + 13 = 25$
$x^2 + y^2 – 4x + 6y + 13 – 25 = 0$
$x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0$

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah $(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ atau dalam bentuk umum $x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0$.

>

Contoh Soal 5: Program Linear

Soal:

Seorang pedagang menjual dua jenis buah, yaitu mangga dan apel. Persediaan mangga tidak lebih dari 200 kg dan persediaan apel tidak lebih dari 150 kg. Harga per kg mangga adalah Rp 10.000,00 dan harga per kg apel adalah Rp 8.000,00. Pedagang tersebut memiliki modal Rp 1.700.000,00. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut, kemudian tentukan kombinasi mangga dan apel yang dapat dijual agar diperoleh keuntungan maksimum jika keuntungan per kg mangga adalah Rp 2.000,00 dan keuntungan per kg apel adalah Rp 1.500,00.

Pembahasan:

Misalkan:
$x$ = jumlah mangga (dalam kg) yang dijual
$y$ = jumlah apel (dalam kg) yang dijual

1. Membangun Model Matematika:

• Kendala Persediaan:

  • Persediaan mangga: $x le 200$
  • Persediaan apel: $y le 150$

• Kendala Modal:
  Harga mangga Rp 10.000/kg, harga apel Rp 8.000/kg, modal Rp 1.700.000.
  $10.000x + 8.000y le 1.700.000$
  Kita bisa sederhanakan dengan membagi seluruh persamaan dengan 2.000:
  $5x + 4y le 850$

• Kendala Non-negatif:
  Jumlah buah yang dijual tidak mungkin negatif.
  $x ge 0$
  $y ge 0$

• Fungsi Tujuan (Keuntungan Maksimum):
  Keuntungan per kg mangga Rp 2.000, keuntungan per kg apel Rp 1.500.
  $Z = 2000x + 1500y$ (Maksimalkan Z)

Jadi, model matematikanya adalah:
Batasan:

1. $x le 200$
2. $y le 150$
3. $5x + 4y le 850$
4. $x ge 0$
5. $y ge 0$

Fungsi Tujuan: Maksimalkan $Z = 2000x + 1500y$

2. Menentukan Kombinasi Optimal (Metode Grafik):

Kita akan mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kendala-kendala di atas.

• Garis 1: $x = 200$
• Garis 2: $y = 150$
• Garis 3: $5x + 4y = 850$
  • Jika $x=0$, maka $4y = 850 implies y = 212.5$. Titik $(0, 212.5)$.
  • Jika $y=0$, maka $5x = 850 implies x = 170$. Titik $(170, 0)$.
• Garis 4: $x = 0$ (sumbu-y)
• Garis 5: $y = 0$ (sumbu-x)

Kita perlu mencari titik potong antar garis yang relevan dan berada dalam daerah penyelesaian. Titik-titik pojok yang mungkin adalah:

• Titik O: Perpotongan $x=0$ dan $y=0 implies (0, 0)$.
  $Z = 2000(0) + 1500(0) = 0$.

• Titik A: Perpotongan $y=0$ dan $5x+4y=850$.
  $5x + 4(0) = 850 implies 5x = 850 implies x = 170$.
  Titik $(170, 0)$.
  Periksa kendala lain: $170 le 200$ (Benar), $0 le 150$ (Benar).
  $Z = 2000(170) + 1500(0) = 340.000$.

• Titik B: Perpotongan $x=200$ dan $5x+4y=850$.
  $5(200) + 4y = 850$
  $1000 + 4y = 850$
  $4y = 850 – 1000$
  $4y = -150$
  $y = -37.5$. Titik ini tidak valid karena $y ge 0$.
  Artinya, garis $x=200$ memotong sumbu-x di $(200,0)$ dan garis $5x+4y=850$ memotong sumbu-x di $(170,0)$. Jadi titik pojoknya adalah $(170,0)$ dari sumbu x.

  Mari kita perhatikan kembali kendala $x le 200$ dan $5x + 4y le 850$. Titik $(170,0)$ sudah memenuhi kedua kendala ini.

• Titik C: Perpotongan $y=150$ dan $5x+4y=850$.
  $5x + 4(150) = 850$
  $5x + 600 = 850$
  $5x = 850 – 600$
  $5x = 250$
  $x = 50$.
  Titik $(50, 150)$.
  Periksa kendala lain: $50 le 200$ (Benar), $150 le 150$ (Benar).
  $Z = 2000(50) + 1500(150) = 100.000 + 225.000 = 325.000$.

• Titik D: Perpotongan $x=200$ dan $y=150$.
  Titik $(200, 150)$.
  Periksa kendala $5x+4y le 850$:
  $5(200) + 4(150) = 1000 + 600 = 1600$.
  $1600 notle 850$. Titik ini tidak memenuhi kendala modal.

• Titik E: Perpotongan $x=200$ dan $5x+4y=850$.
  Kita sudah hitung di Titik B, $y=-37.5$, jadi tidak valid.

• Titik F: Perpotongan $y=150$ dan $x=0$.
  Titik $(0, 150)$.
  Periksa kendala lain: $0 le 200$ (Benar), $150 le 150$ (Benar), $5(0)+4(150) = 600 le 850$ (Benar).
  $Z = 2000(0) + 1500(150) = 225.000$.

• Titik G: Perpotongan $x=200$ dan $y=0$.
  Titik $(200, 0)$.
  Periksa kendala lain: $200 le 200$ (Benar), $0 le 150$ (Benar), $5(200)+4(0) = 1000 notle 850$. Titik ini tidak memenuhi kendala modal.

Titik-titik pojok yang valid adalah $(0, 0)$, $(170, 0)$, $(50, 150)$, dan $(0, 150)$.
Mari kita evaluasi fungsi tujuan $Z = 2000x + 1500y$ di titik-titik pojok ini:

• $Z(0, 0) = 2000(0) + 1500(0) = 0$
• $Z(170, 0) = 2000(170) + 1500(0) = 340.000$
• $Z(50, 150) = 2000(50) + 1500(150) = 100.000 + 225.000 = 325.000$
• $Z(0, 150) = 2000(0) + 1500(150) = 225.000$

Nilai keuntungan maksimum adalah Rp 340.000,00 yang dicapai ketika pedagang menjual 170 kg mangga dan 0 kg apel.

>

Penutup

Mempelajari contoh soal seperti di atas adalah cara yang efektif untuk menguji pemahaman Anda terhadap materi yang telah diajarkan. Ingatlah bahwa kunci sukses dalam matematika adalah latihan yang konsisten dan pemahaman konsep yang mendalam.

Tips Tambahan untuk Menghadapi UAS:

• Pahami Konsep: Jangan hanya menghafal rumus, tetapi pahami asal-usul dan logika di baliknya.
• Latihan Soal Bervariasi: Kerjakan soal dari berbagai sumber, termasuk buku paket, LKS, dan soal-soal latihan dari guru.
• Buat Ringkasan Materi: Rangkum poin-poin penting, rumus, dan contoh soal yang sulit bagi Anda.
• Diskusikan dengan Teman: Belajar bersama teman dapat membantu Anda memahami materi dari sudut pandang yang berbeda.
• Istirahat yang Cukup: Jangan memaksakan diri belajar semalam suntuk. Pastikan Anda mendapatkan istirahat yang cukup agar otak dapat berfungsi optimal.

Dengan persiapan yang matang dan sikap positif, kami yakin Anda dapat menghadapi UAS Matematika Kelas 10 SMK semester 2 dengan percaya diri dan meraih hasil yang memuaskan. Selamat belajar dan semoga sukses!